Begriffsverzeichnis

Absolutbetrag

Mit abs(a) wird für eine ganze Zahl a der Absolutbetrag von a bezeichnet; er ist gleich a für Null oder eine positive Zahl und (- a) für eine negative Zahl a. Daher ist er nie negativ.

Alternierende Quersumme siehe Quersumme alternierend

Axiom

Ein Axiom ist eine als wahr angenommene Grundlage, die keines Beweises bedarf.

Binärsystem, Binärzahl

Das Binärsystem ist ein Stellenwertsystem. Es nutzt zur Darstellung von Zahlen nur die beiden Ziffern 0 und 1. Nummerieren wir die Ziffern einer (m + 1) stelligen Binärzahl z von hinten mit n₀, n₁, n₂, …., n_m durch, so ergibt sich für z dezimal: z = n_m × 2^m + …. + n₂ × 2² + n_m × 2 + n₀

Binärzahlen werden in diesem Blog stets in Hochkommata gesetzt. So ist die Binärzahl ‚1011‘ = 1 × 2³ + 1 × 2 + 1 = 11.

Dualsystem, Dualzahl

Dualsystem und Binärsystem sind Synonyme, bezeichnen daher dasselbe, ebenso verhält es sich mit den Begriffen Binärzahl und Dualzahl.

Einserblock

Eine Binärzahl, für die alle Ziffern gleich ‚1‘ sind, heißt Einserblock. Ebenso wird eine n-stellige Ziffernfolge innerhalb einer Binärzahl, die nur aus Einsen besteht, Einserblock der Länge n genannt.

Fermat-Zahlen

Fermat-Zahlen sind Zahlen, die um eins größer sind als eine Zweierpotenz mit einem Exponenten, der selbst eine Zweierpotenz ist, also Zahlen der Form 2²ⁿ + 1 für eine natürliche Zahl n. Die Fermat-Zahl 𝐹_n = 2²ⁿ + 1 heißt Fermat-Zahl zum Index n.

Fermatsche Primzahlen

Eine Fermat-Zahl, die Primzahl ist, wird als Fermatsche Primzahl bezeichnet.

Größter gemeinsamer Teiler ggT

Der größte gemeinsame Teiler von zwei natürlichen Zahlen a und b ist die größte natürliche Zahl, die sowohl ein Teiler von a als auch von b ist. Sie wird mit ggT (a, b) bezeichnet. So gilt z. B ggT (16, 20) = 4.

Index

Indizes (Singular Index) treten bei Mersenne-Zahlen, Fermat-Zahlen und Pseudo-Fermat-Zahlen auf. Mit Indizes werden die kleinen Zahlen bezeichnet, die tiefgestellt jeweils an das Symbol oder die Variable zur Kennzeichnung und Unterscheidung geschrieben wird. Der Index gibt an, um das wievielte Glied es sich handelt.

Bei einer Fermat-Zahl 𝐹_n = 2²ⁿ + 1 wird an das Symbol F der Index n angehängt. Unter 𝐹_n verstehen wir eine bestimmte Zahl, für n = 2 z.B. die Zahl 17.

Bei einer Dezimalzahl: z = n_m × 2^m + …. + n₂ × 2² + n_m × 2 + n₀ dagegen bezeichnen die n_i für 1 = 1, . . . ., m Variable. So kann n₀ entweder ‚0‘ oder ‚1‘ betragen.

Kleiner Satz von Fermat zur Basis n

Der kleine Satz von Fermat zur Basis einer natürlichen Zahl n besagt: Für eine Primzahl p ist n^p kongruent zu n modulo p. Ist p kein Teiler von n, so gilt sogar, dass n^p-1 kongruent zu 1 modulo p ist.

Eine natürliche Zahl m genügt dem kleinen Satz von Fermat zur Basis 2, wenn 2^m-1 kongruent zu 1 modulo m ist. So ist z. B. für m = 5 die Zahl 2⁴ = 16 kongruent zu 1 modulo 5. Deshalb genügt 5 dem kleinen Satz von Fermat zur Basis 2.

Kongruent

In der Zahlentheorie heißen zwei ganze Zahlen a und b kongruent modulo einer natürlichen Zahl n, wenn sie bei Division durch n denselben Rest lassen, in Zeichen a ≡ b (mod n).

Mersenne-Zahlen

Eine natürliche Zahl, die um 1 kleiner ist als eine 2er-Potenz, also eine Zahl der Form 𝑀_n = (2ⁿ – 1) für eine natürliche Zahl n, heißt Mersenne-Zahl. Sie wird speziell Mersenne-Zahl zum Index n genannt.

Mersenne-Zahlen im engeren Sinn

Zahlen, die um 1 kleiner als eine 2er-Potenz mit einer Primzahl p als Exponent, die daher als (2^p – 1) darstellbar sind, heißen in diesem Blog Mersenne-Zahlen im engeren Sinn.

Mersenne-Quotientenzahl

Seien n und i natürliche Zahlen und i, n seien größer als 0. Der Quotient der beiden Mersenne-Zahlen M_{i × n} und M_n wird Mersenne-Quotientenzahl mit i Einsen und jeweils (n – 1) Nullen genannt und als MQ(i, n – 1) bezeichnet. Binär sieht die Gleichung folgendermaßen aus: MQ(i, n – 1) = 𝑀_{i × n} ÷ 𝑀_n =

Minimaler Mersenne-Index

Für eine ungerade natürliche Zahl z bezeichnet mi(z) den kleinstmöglichen Index einer Mersenne-Zahl, so dass z | 𝑀_mi(z)) gilt, mi(z) wird auch minimaler Mersenne-Index von z genannt.

Modulo siehe kongruent

n-Quersumme siehe n-Quersumme unter Q

Nullblock

Eine n-stellige Ziffernfolge innerhalb einer Binärzahl, die nur aus Nullen besteht, wird mit Nullblock der Länge n bezeichnet.

oBdA

Die 4 Buchstaben oBdA stehen für ‚ohne Beschränkung der Allgemeinheit‘. Dies besagt folgendes: Wenn von mehreren gleichberechtigten Partnern einer eine bestimmte Ausprägung besitzt, so wird willkürlich ein Partner dafür ausgewählt.

Primalität einer natürlichen Zahl n

Dieser Ausdruck ist synonym zu: n ist eine Primzahl.

Primzahlen

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nicht als echtes Produkt kleinerer Zahlen dargestellt werden kann und größer als 1 ist. Dabei heißt echtes Produkt, dass kein Faktor
gleich 1 ist.

Primzahlpaar

Zwei Primzahlen mit der Differenz 2 bilden ein Primzahlpaar.

Pseudo-Fermat-Zahlen

Zahlen, die um 1 größer sind als eine 2er-Potenz, werden im Folgenden Pseudo-Fermat-Zahlen genannt. Sei n eine natürliche Zahl. Dann heißt die Pseudo-Fermat-Zahl 𝑃𝐹_n = 2ⁿ + 1 Pseudo-Fermat-Zahl zum Index n.

pseudoprim zur Basis 2

Eine ungerade zerlegbare Zahl z heißt pseudoprim zur Basis 2, wenn sie dem kleinen Satz von Fermat zur Basis 2 genügt.

Quersumme

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe der Ziffern der Zahl.

Quersumme alternierend

Zur Berechnung der alternierenden Quersumme einer Zahl z werden die Ziffern der Zahl z abwechselnd addiert und subtrahiert, beginnend bei der letzten Ziffer.

n-Quersumme

Für eine natürliche Zahl n bezeichnet die n-Quersumme (n-checksum) Cn(z) einer natürlichen Zahl z in einem Stellenwertsystem die Zahl, die die Summe der Zahl, die die letzten n Ziffern der Zahl z bildet, addiert mit der Zahl der vorletzten n Ziffern, addiert mit der Zahl der vorvorletzten n Ziffern usw. bezeichnet.

Restklasse

Lassen die beiden ganzen Zahlen a und b bei Division durch eine natürliche Zahl n denselben Rest, so liegen sie in derselben Restklasse modulo n. Die Restklassen zu zwei Elementen sind entweder gleich oder disjunkt, das heißt, sie besitzen kein gemeinsames Element. (Verweis auf anderen Blog???)

Sophie-Germain-Primzahl

Eine Primzahl p heißt Sophie-Germain-Primzahl, wenn ihr Doppeltes erhöht um 1 ebenfalls eine Primzahl darstellt, d.h. p ist eine Sophie-Germain-Primzahl, wenn (2p + 1) auch prim ist.

Stellenwertsystem

Im Stellenwertsystem bestehen die Zahlen aus Ziffern, deren jeweiliger Beitrag zum Gesamtwert der Zahl von der Position abhängt. Daher sind sowohl das Dezimal- als auch das Binärsystem Stellenwertsysteme.

Vollständige Induktion

Das Verfahren der vollständigen Induktion besagt für natürliche Zahlen n folgendes: Gilt eine Eigenschaft für n = 1 (Induktionsanfang) und folgt stets, dass diese Eigenschaft für die Zahl (n + 1) gilt, falls sie für n gültig ist (Induktionsannahme), so gilt sie für alle natürlichen Zahlen (Induktionsschluss). Die Induktionsannahme wird auch Induktionsvoraussetzung genannt.

Zerlegbare Zahlen

Natürliche Zahlen heißen zerlegbar oder zusammengesetzt, wenn sie sich als Produkt kleinerer Zahlen darstellen lassen, bei denen kein Faktor gleich 1 ist.

Zusammengesetzte Zahlen siehe zerlegbare Zahlen.